我有超能力－瘋小貓的華麗冒險

喬恩：Hi, 我在懸賞數學耶。
　　　一題500 USD，或 IEEE Trans. on Signal Processing 的 co-author
　　　要不要賺點外快呀?
小貓：哈哈，好啊。可是我可能不會。來吧~
喬恩：不會是正常呀，我也不會，所以才要徵呀
小貓：但是我可能看不懂題目
喬恩：no... it's so simple:
　　　A q by q diagonal matrix Q
　　　satisfying the following equation
　　　{inv[M+Q]* S * inv[M+Q]}_{i,i}=inv[M+Q]_{i,i}
　　　for some given M and S
　　　i from 1 to q
　　　所以是 q 個變數，q 個方程式，
　　　有唯一解 Q
　　　請問怎麼解 Q （← simple 個鬼！完全看不懂他在 murmur 什麼...）
　　　不一定要closed form solution
　　　我強烈懷疑有closed form solution
　　　如果能有像是高斯牛頓那種數值解也是可以的（← 還高斯牛頓咧，他們離我太遙遠了...）
小貓：太難了
喬恩：我現在就卡在這題呀
　　　解出來的我真的會給他當 co-author
　　　this is not as simple as it looks
小貓：你上面那個底線是什麼意思？
喬恩：喔 A_{i,i}只是說 A 的第(i,i)個元素
小貓：所以 M 和 S 的 dimension 和 Q 一樣吼？
喬恩：對呀
小貓：有點意思。我抄起來想想（←其實只是想趕快敷衍過去..）
喬恩：okok..謝啦

（半小時後）

喬恩：我的 co-author 獎勵可能要收回了！哈！
小貓：解啦？
喬恩：因為我開始想到一個怪招，可能可以解喔。
　　　不過獎金還是有的。
　　　那個怪招專門對付沒有規則的問題
小貓：?
喬恩：就是說 gauss newton 你要有一階導函數才可以用呀
　　　但要是你根本算不出來一階導函數，那就不能用
　　　我那個方法是越怪越能用
　　　當你什麼都算不出來但是你知道他給你的答案對還是不對時
　　　這個方法威力就出來了
小貓：到底是什麼？你有要跟我說嗎?
喬恩：我沒辦法跟你說呀
　　　那個方法叫 cross-entropy method
小貓：喔... （← 聽到火星文不知如何反應）
喬恩：當然如果有更強的解法還是歡迎
　　　奇怪我每次跟你講完話都有很多收穫
小貓：可能我有超能力

（← 這句話倒是出自肺腑...）
喬恩：真讚

************************* 數天後 ***********************************

喬恩：阿~~~~~~~
小貓：幹嘛（← 有不好的預感）
喬恩：又有數學問題了
　　　問妳問妳...簡單的
小貓：不要啊~~~~~~~~~
喬恩：拜託嘛
小貓：好吧。簡單的就給你問
喬恩：2x2 的 hermitian matrix
　　　A=A^H
小貓：太難了啦
　　　hermitian 是什麼我都忘了啦
　　　去問別人啦
喬恩：怎麼 create 一組 basis that span A ?
　　　也就是 A = a1*B1 + a2*B2 （←完全不管我的抱怨，自顧自地繼續講題目）
小貓：......
喬恩：可是這很像 image processing 的（←大哥，我不搞 image processing 很久了啊！）
小貓：我看不懂題目耶。hermitian 是啥？（←其實這個字聽起來有點熟悉...）
喬恩：hermitian 就是先取 complex conjugate 再 transpose （←啊原來是這個...）
小貓：所以 A=A^H 就是它的 hermitian 和自己一樣喔？
喬恩：對。for example：
　　　A=[1 j; -j 1] 就是 A=A^H
　　　請問怎麼寫成 A = a1*B1 + a2*B2
　　　疑好像很簡單（←又開始自顧自地算起來）
　　　就是[1 0 ; 0 1] & [0 1; -1 0]
小貓：然後 a1 和 a2 分別是 1 和 j 喔？
喬恩：對呀
　　　但是最好 basis 要 orthogonal
　　　matrix 的內積為 = trace{AB}
　　　[1 0 ; 0 1] & [0 1; -1 0] 相乘 trace 是 0 （←有的人興奮起來就語無倫次..）
小貓：內積勒......內積怎麼算?

（←我連這些基本定義都忘光了還解什麼題啦）
喬恩：就是 A*B 取 trace 呀 (sum of diagonal elements)
小貓：trace?
　　　矩陣相乘我會
　　　trace是什麼
喬恩：對角線元素和
小貓：喔。嗯。
　　　幹嘛忽然提到內積？
喬恩：因為提到 basis 正交
　　　講正交必須定義內積
小貓：喔。內積為零就正交。（←忽然有一個會的，趕快搶答！）
喬恩：對。（←耶耶耶！答對了！）
小貓：好。所以現在題目是什麼？找 B1 和 B2 ? （←到目前為止還不太懂題目要幹嘛）
喬恩：對。
　　　我找到了！
小貓：....嗯。很好。（←嗯？我還沒開始解啊...）
喬恩：但是我要的是 general 的... not just 2 x 2
小貓：嗯。謝謝你告訴我內積啊、hermitian 這些
　　　我都忘光了...（←決定敷衍一下然後慢慢消失）
喬恩：不過我大概知道怎麼找了
　　　謝啦
小貓：不客氣。